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学部・附属学校共同研究紀要 45 号
2017-03-31 発行
間接証明カリキュラムの開発に関する研究 : 背理法の学習過程に注目して
A study on curriculum development for indirect proof: understanding and constructing the process of proof by contradiction
Abstract
本研究の目的は，間接証明に関するカリキュラムの開発である。その狙いは，十分に理解されていないと考えられる間接証明をよりよく学ぶと共に，学びの過程を通して論理を扱う能力を育むことである。本稿においては，その基礎として，間接証明を学ぶ過程を明らかにすることを目的とした。ただし，間接証明が何かという統一見解は見られないため，今回は背理法に限定して考察した。
目的のため，まず背理法に関する知識を分析し，特に数学史を参照しながら，背理法を構成することが期待される学習を設計した（アプリオリ分析）。高等学校1年生に授業を実施した結果，生徒の実態を十分想定出来ていなかったことから，学習自体は十分に成功しなかった。しかしながら，背理法に関する知識の分析それ自体については，かなりの部分が妥当であることは示された。本時の課題を元に，改善した学習を実施することで，知識の分析の妥当性や限界を明らかにし，カリキュラム開発に繋げることが今後の課題である。
目的のため，まず背理法に関する知識を分析し，特に数学史を参照しながら，背理法を構成することが期待される学習を設計した（アプリオリ分析）。高等学校1年生に授業を実施した結果，生徒の実態を十分想定出来ていなかったことから，学習自体は十分に成功しなかった。しかしながら，背理法に関する知識の分析それ自体については，かなりの部分が妥当であることは示された。本時の課題を元に，改善した学習を実施することで，知識の分析の妥当性や限界を明らかにし，カリキュラム開発に繋げることが今後の課題である。
Abstract
The purpose of our study is to develop a curriculum of indirect proof. It aims to increase students’ understanding about indirect proof, and to improve their ability to use logic. Furthermore, we aim to construct a process of indirect proof, as the base of the curriculum. However, as there is no consensus regarding the definition of indirect proof, we only consider proof by contradiction.
For this purpose, we designed a lesson in which students will probably be knowing indirect proof and then construct a process of the proof based on their conception (a priori analysis). We conducted the lesson in a 10th grade mathematics class. However, the lesson was not as successful as expected because we overestimated the students’ actual level of cognition. In contrast, most of our analysis of the knowledge is validated. Our future task is to design an improved lesson to deliver to students. We would also need to clarify the validation and limitations of our analysis.
For this purpose, we designed a lesson in which students will probably be knowing indirect proof and then construct a process of the proof based on their conception (a priori analysis). We conducted the lesson in a 10th grade mathematics class. However, the lesson was not as successful as expected because we overestimated the students’ actual level of cognition. In contrast, most of our analysis of the knowledge is validated. Our future task is to design an improved lesson to deliver to students. We would also need to clarify the validation and limitations of our analysis.
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