量間の演算関係を対象とした算数文章題における乗除の統合的理解ための二重三角スキーマ : Worked Exampleとしての知識モデル外在化の試み

Double Triangle Schema for Integrated Interpretation of Multiplicaiton and Division in Mathermatic Word Problem: Externalization of Knowledge Model as a Worked Example

平嶋 宗

電子情報通信学会技術研究報告. ET, 教育工学

IEICE Technical Report. Educational technology

算数文章題の多くは量に関する比例場面を扱っており，一つの比例場面は6つの乗除の式として記述でき，量の計算としてそれぞ異なる意味を持つ．二重三角スキーマは，この6つの乗除関係を一つの図式で統合的に可視化する枠組みである．一つの三角スキーマは，「独立に存在しうる量である存在量二つ」と，「二つの存在量の関係として成立する一つの関係量（関係量１とする）」を各頂点に配置し，一つの乗算と二つの除算を各辺に配置する三角形で構成されており，二重三角スキーマにおいて対となるもう一つの三角形スキーマは，二つの存在量は同じで，関係量（関係量２）が関係量１に対して数が逆数で単位も逆となる．二つの三角スキーマは，二つの存在量間の辺を底辺として点対称 に配置される．これは，それぞれの関係量に対する存在量の意味が逆転している（基準量と比較量）からである．この二重三角スキーマを用いることで，等分除，包含除や，三用法，1より小さい数を用いた乗除，逆量関係にある二つの関係量，といった同一比例場面に存在する様々な乗除関係を可視的・ 統合的に説明できる．この二重三角スキーマを学習対象とする予備的実験を行ったところ，学習者がそれを活用できることを示唆する結果を得たので報告する．

We propose a double triangle schema as an integrated interpretation scheme for multiplication and division in mathematical word problems with a proportional relation. Proportional relations can be expressed arithmetically as six equations. The double triangle schema consists of two pairs of triangle schemas. One triangle schema is represented by a triangle with two independently existential quantities and a relational quantity (relational quantity 1) at each vertex, and one multiplication and two division at each side. The other triangle schema is described by the same two quantities plus another quantity that is the inverse of relational quantity 1 (relational quantity 2), with one multiplication and two divisions on each side. The edge between the two quantities is the base, and the two triangular schemas are arranged pointwise so that each of the two relational quantities is a vertex relative to the base. By using this schema, various multiplications and divisions that exist in the same event, such as equal division, inclusive division, multiplication by a number less than 1, and two relational quantities in an inverse quantity relationship, can be explained visually and in an integrated manner. We have conducted an experiment using this double-triangular schema as a learning object and report the results that suggest that learners can make use of it.

二重三角スキーマ

乗除文章題

比例関係

存在量と関係量

Mathematic/Arithmetic Word Problem

Integrated Interpretation

Multiplication/Division

Proportional Relation

日本語

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